“Explotar” viene del latín “explodere”, “expulsar con aplausos”. Se origina en la idea de sacar a un actor del escenario haciendo ruido -los antiguos griegos y romanos eran MUY demostrativos para manifestar su desaprobación a los artistas-, desde donde evolucionó a la idea de “expulsar”, de donde derivó a “expulsar con estruendo”.

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Fuentes

Online Etymology Dictionary. "Explode", con el detalle de la evolución del término http://www.etymonline.com/index.php?term=explode